定理：
以下の関係式を算術平均と幾何平均の不等式[AM-GM Inequality]という.\[\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}\]これは,算術平均 $\bar{x}$ が幾何平均 $G$ 以上であることを意味する.
基本的な場合として, $n = 2$ のときから始める.\[\frac{x_1 + x_2}{2} \geq \sqrt{x_1 x_2}\]この不等式は以下のように変形できる.\[\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2 \geq x_1 x_2\]両辺を展開すると,\[\frac{x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2}{4} \geq x_1 x_2\]これを整理すると,\[x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \geq 4x_1 x_2\]\[x_1^2 - 2x_1 x_2 + x_2^2 \geq 0\]\[(x_1 - x_2)^2 \geq 0\]これは明らかに成り立つので,基本的な場合については証明できた.
次に、 $n \geq 3$ の場合について,数学的帰納法を用いて証明する.
$n = k$ の場合,すなわち $ \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k}{k} \geq \sqrt[k]{x_1 x_2 \cdots x_k}$ が成り立つと仮定する.次に, $n = k+1$ の場合を考える.
まず,仮定に基づいて次を示す.\[\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k + x_{k+1}}{k+1} \geq \sqrt[k+1]{x_1 x_2 \cdots x_k x_{k+1}}\]上式は以下のように変形できる.\[\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k + x_{k+1}}{k+1} \right)^{k+1} \geq x_1 x_2 \cdots x_k x_{k+1}\]この不等式を展開すると,\[\frac{(x_1 + x_2 + \cdots + x_k + x_{k+1})^{k+1}}{(k+1)^{k+1}} \geq x_1 x_2 \cdots x_k x_{k+1}\]これを示すには,次の補題を用いる.
補題：2数の平均と幾何平均
これを用いると,\[\frac{\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k}{k} + x_{k+1}}{2} \geq \sqrt{\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k}{k} \cdot x_{k+1}}\]これを帰納法の仮定に代入すると,\[\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k + x_{k+1}}{k+1} \geq \sqrt[k+1]{x_1 x_2 \cdots x_k x_{k+1}}\]したがって,数学的帰納法により,すべての $n$ に対して次の不等式が成り立つ.\[\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}\]
次に、幾何平均と調和平均の不等式[GM-HM Inequality]を示す.\[\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}\]これは,幾何平均 $G$ が調和平均 $H$ 以上であることを意味する.基本的な場合として, $n = 2$ のときから始める.\[\sqrt{x_1 x_2} \geq \frac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}}\]この不等式は以下のように変形できる.\[\sqrt{x_1 x_2} \geq \frac{2x_1 x_2}{x_1 + x_2}\]両辺を2乗すると,\[x_1 x_2 \geq \frac{4x_1^2 x_2^2}{(x_1 + x_2)^2}\]両辺に $((x_1 + x_2)^2)$ を乗じると,\[x_1 x_2 (x_1 + x_2)^2 \geq 4x_1^2 x_2^2\]これを整理すると,\[(x_1 + x_2)^2 \geq 4x_1 x_2\]\[x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 \geq 4x_1 x_2\]\[x_1^2 - 2x_1 x_2 + x_2^2 \geq 0\]\[(x_1 - x_2)^2 \geq 0\]これは明らかに成り立つので,基本的な場合については証明できた.
次に, $n \geq 3$ の場合について,数学的帰納法を用いて証明する.$n = k$ の場合,すなわち \[\sqrt[k]{x_1 x_2 \cdots x_k} \geq \frac{k}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_k}} \] が成り立つと仮定する.
次に, $n = k+1$ の場合を考える.
まず,仮定に基づいて以下を示す.\[\sqrt[k+1]{x_1 x_2 \cdots x_k x_{k+1}} \geq \frac{k+1}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_k} + \frac{1}{x_{k+1}}}\]これは次のように変形できる.\[\left( \sqrt[k+1]{x_1 x_2 \cdots x_k x_{k+1}} \right)^{k+1} \geq \frac{(k+1)^{k+1}}{(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_k} + \frac{1}{x_{k+1}})^{k+1}}\]この不等式を展開すると,\[x_1 x_2 \cdots x_k x_{k+1} \geq \frac{(k+1)^{k+1}}{(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_k} + \frac{1}{x_{k+1}})^{k+1}}\]これを示すために,先ほどの補題を用いる.
先ほどの補題を用いると,\[\sqrt{\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_k}{k} \cdot x_{k+1}} \geq \frac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}}\]これを帰納法の仮定に代入すると,\[\sqrt[k+1]{x_1 x_2 \cdots x_k x_{k+1}} \geq \frac{k+1}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_k} + \frac{1}{x_{k+1}}}\]したがって,数学的帰納法により,すべての $n$ に対して次の不等式が成り立つ.\[\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}\]
これらの不等式を組み合わせると,すべての正の数 $( x_1, x_2, \ldots, x_n )$ に対して次の関係が成り立つ.\[H \leq G \leq \bar{x}\]ここで,\[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\]\[G = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}\]\[H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}\]
Mathematics is the language with which God has written the universe.