Box-Cox変換

$\lambda = 0$ の場合の定義は, $\lambda \to 0$ の極限として導出される.すなわち,\[\lim_{\lambda \to 0} \frac{X^\lambda - 1}{\lambda} = \ln(X)\]一般化されたBox-Cox変換では, $X$ が非正の値を取る場合に対応するため,以下のように定義されることもある.\[ Y(\lambda) = \begin{cases} \frac{(X + c)^\lambda - 1}{\lambda} & \text{if } \lambda \neq 0 \\ \ln(X + c) & \text{if } \lambda = 0 \end{cases}\]ここで, $c$ は $X + c > 0$ となるような定数である.

主な特殊ケース

• $\lambda = 1$ : 線形変換[変換なし]
• $\lambda = 0$ : 対数変換
• $\lambda = 0.5$ : 平方根変換
• $\lambda = -1$: 逆数変換

最適な $\lambda$ は通常,変換後のデータが正規分布に近づくように,最尤法や残差の分析によって決定される.

逆変換

\[X = \begin{cases} (Y\lambda + 1)^{1/\lambda} & \text{if } \lambda \neq 0 \\ e^Y & \text{if } \lambda = 0 \end{cases}\]

由来

この変換は,イギリスの統計学者であるボックス[George E. P. Box ;1919/2013]とコックス[David Cox ;1924/2022]によって,"An analysis of transformations",Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological),Vol. 26, No. 2 (1964), pp. 211-252 で発表された.

Mathematics is the language with which God has written the universe.