二乗の和の公式

導出

まず, $(k+1)^3 - k^3$ を展開する.\[(k+1)^3 - k^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1\]両辺に $\frac{1}{3}$ を乗じる.\[\frac{1}{3}[(k+1)^3 - k^3] = k^2 + k + \frac{1}{3}\]以上について $k = 1$ から $n$ まで和をとる. \[\sum_{k=1}^n \frac{1}{3}[(k+1)^3 - k^3] = \sum_{k=1}^n (k^2 + k + \frac{1}{3})\]ここで,左辺は望遠鏡和の形になっている.\[\frac{1}{3}[(n+1)^3 - 1^3] = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k + \frac{n}{3}\]ここで,等差数列の和の公式\[\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\]を用いると,\[\frac{1}{3}(n^3 + 3n^2 + 3n) = \sum_{k=1}^n k^2 + \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n}{3}\]以上を整理し, $\sum_{k=1}^n k^2$ について解くと,\[\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]となる◻︎

Mathematics is the language with which God has written the universe.