Δ-Y変換

Δ回路と等価なY回路において,\[\begin{eqnarray}R_{a}&=&\frac{R_{ab}R_{ca}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}}\\R_{b}&=&\frac{R_{bc}R_{ab}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}}\\R_{c}&=&\frac{R_{ca}R_{bc}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}}\end{eqnarray}\]となる.
つまり,分母はΔ回路の抵抗の和となり,分子はY回路の抵抗を挟み込む辺の抵抗の積となる.

a-b間におけるΔ回路の合成抵抗は,\[R_{\Delta ab}=\frac{R_{ab}(R_{bc}+R_{ca})}{R_{ab}+(R_{bc}+R_{ca})}\]同じく,a-b間におけるY回路の合成抵抗は,\[R_{Yab}=R_{a}+R_{b}\]となる.等価であるから両者は等しくなる.

b-c間におけるΔ回路の合成抵抗は,\[R_{\Delta bc}=\frac{R_{bc}(R_{ab}+R_{ca})}{R_{bc}+(R_{ab}+R_{ca})}\]同じく,a-b間におけるY回路の合成抵抗は,\[R_{Ybc}=R_{b}+R_{c}\]となる.等価であるから両者は等しくなる.

c-a間におけるΔ回路の合成抵抗は,\[R_{\Delta ca}=\frac{R_{ca}(R_{ab}+R_{bc})}{R_{ca}+(R_{ab}+R_{bc})}\]同じく,a-b間におけるY回路の合成抵抗は,\[R_{Yca}=R_{c}+R_{a}\]となる.等価であるから両者は等しくなる.

以上の関係式から,\[\begin{eqnarray}R_{a}&=&\frac{R_{Yab}+R_{Yca}-R_{Ybc}}{2}\\&=&\frac{R_{\Delta ab}+R_{\Delta ca}-R_{\Delta bc}}{2}\\&=&\frac{1}{2}\left(\frac{R_{ab}(R_{bc}+R_{ca})}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}}+\frac{R_{ca}(R_{ab}+R_{bc})}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}}-\frac{R_{bc}(R_{ab}+R_{ca})}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}}\right)\\&=&\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}}\cdot\left(R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ca}+R_{ca}R_{ab}+R_{ca}R_{bc}-R_{bc}R_{ab}-R_{bc}R_{ca} \right)\\&=&\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}}\cdot(2R_{ab}R_{ca})\\&=&\frac{R_{ab}R_{ca}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}} \end{eqnarray}\]となる.

Δ-Y変換における負荷

Δ結線の3つの各負荷が等しいとき,\[R_{ab}=R_{bc}=R_{ca}=R\]Δ-Y変換すると,\[R_{a}=R_{b}=R_{c}=\frac{R}{3}\]となる.

参照

直並列接続の合成抵抗

Mathematics is the language with which God has written the universe.

Y-Δ変換 - Δ-Y変換 - コンダクタンス - 直並列接続の合成抵抗１ - 断路器