アンペアの周回積分の法則

磁束密度を $B$,移動距離を $\Delta l$ , $\delta l$ と $B$ とがなす角を $\theta$ とする.このとき,真空の透磁比率を $\mu_{0}$ とすると,\[\sum B \cdot \Delta l \cdot \cos\theta=\mu_{0}I \]となる.直線導体の場合に導体の周囲に生じる磁界は円周上の接線方向を向いている.従って,$\delta l$ と $B$ は同方向となるため,\[\theta=0 , \cos\theta=1\]となる.

以上より,\[\sum B \cdot \Delta l \cdot \cos\theta=B\sum\Delta l\]となる.ここで,円周の半径を $r$ とすると, $\sum\Delta l=2\pi r$ であるから,結局,\[\sum B \cdot \Delta l \cdot \cos\theta=B \cdot 2\pi r=\mu_{0}I\]となる.

上式を変形すると,\[B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}\qquad[\rm{T}]\]となる.これを周回積分*で表現すると,\[\begin{eqnarray}\oint_{r}B \cdot dl&=&\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}\oint_{r}dl\\&=&\frac{\mu_{0}I}{2\pi r} \cdot 2\pi r\\&=&\mu_{0}I\end{eqnarray}\]となる.

なお,真空の透磁率は,\[\mu_{0}=4\pi \times 10^{-7}\qquad[\rm{H/m}]\] である.

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