エルミート内積
定義：エルミート内積[Hermitian inner product]
複素数体
上のベクトル空間
V 上の任意の2つのベクトル
v , w に対して,次の条件を満たす複素数
(v , w) \in \mathbb{C} が1つ定まるとする.
- 第1成分に関する線型性：(v_{1}+v_{2},w)=(v_{1},w)+(v_{2},w)
(av,w)=a(v,w) - 第2成分に関する共軛線型性：(v,w_{1}+w_{2})=(v,w_{1})+(v,w_{2})
(v,aw)=\bar{a}(v,w) - エルミート対称性：(v,w)=\overline{(w,v)}
- 非退化性：任意のベクトル v について,(v, v⟩ = 0 となるのは v = 0 であるときに限る.
- 正定値性：任意のベクトル v について,(v ,v) \geq 0
このとき,
エルミート内積 ( \cdot , \cdot ) が1つ定義されたという.
エルミートという名称はフランスの数学者であるシャルル・エルミート[Charles Hermite:1822-12-24/1901-01-14]に由来.
なお,エルミート内積は複素内積ともいう.
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