エルミート内積
定義：エルミート内積[Hermitian inner product]
複素数体 $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間 $V$ 上の任意の2つのベクトル $v , w$ に対して,次の条件を満たす複素数 $(v , w) \in \mathbb{C}$ が1つ定まるとする.
- 第1成分に関する線型性：$(v_{1}+v_{2},w)=(v_{1},w)+(v_{2},w)$
$(av,w)=a(v,w)$ - 第2成分に関する共軛線型性：$(v,w_{1}+w_{2})=(v,w_{1})+(v,w_{2})$
$(v,aw)=\bar{a}(v,w)$ - エルミート対称性：$(v,w)=\overline{(w,v)}$
- 非退化性：任意のベクトル $v$ について,$(v, v⟩ = 0$ となるのは $v = 0$ であるときに限る.
- 正定値性：任意のベクトル $v$ について,$(v ,v) \geq 0$
このとき,
エルミート内積 $( \cdot , \cdot )$ が1つ定義されたという.
エルミートという名称はフランスの数学者であるシャルル・エルミート[Charles Hermite:1822-12-24/1901-01-14]に由来.
なお,エルミート内積は複素内積ともいう.
Mathematics is the language with which God has written the universe.
