オイラーの公式

$e^{x}$ を冪級数に展開[テイラー展開]すると,\[e^{x}=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{4!}x^{4}+\cdots \]同じように,$\cos x$ と $\sin x$ についても冪級数に展開すると,\[\begin{eqnarray}\cos x &=& \frac{1}{1!}x-\frac{1}{3!}x^{3}+\cdots \\\sin x &=& 1 -\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{4!}x^{4}+\cdots \end{eqnarray}\]と表される.

ここで,虚数を $i$ とすると上記の関係を用いると,\[\begin{eqnarray}e^{ix}&=&1+\frac{1}{1!}(ix)+\frac{1}{2!}(ix)^{2}+\frac{1}{3!}(ix)^{3}+\frac{1}{4!}(ix)^{4}+\frac{1}{5!}(ix)^{5}+\cdots\\&=&1+\frac{1}{1!}ix-\frac{1}{2!}x^{2}-\frac{1}{3!}ix^{3}+\frac{1}{4!}x^{4}+\frac{1}{5!}ix^{5}+\cdots\\&=&1-\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{4!}x^{4}-\frac{1}{6!}x^{6}+\cdots\\&&+i(\frac{1}{1!}x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\cdots)\\&=&\cos x + i\sin x \end{eqnarray} \]と表される.

Mathematics is the language with which God has written the universe.