加法定理[addition theorem]
指数法則,\[e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}\]を,オイラーの公式を用いて書き換えると,\[\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)=(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)\]右辺を整理すると,\[(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\]となる.
最初の式の左辺と最後の式の実数部分と虚数部分を比較すると,\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\]となる.
Mathematics is the language with which God has written the universe.