| $a_{1}$ | $a_{2}$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $a_{n}$ | $\cdots$ | |
| ↑ | ヘッド | |||||
| ■ | 状態制御部 | |||||
$Q$ を状態の空ではない有限集合，$\Gamma$ をチューリングマシン $M$ が計算をする過程において作業用に用いる記号（テープ記号）とします．
ここで，チューリングマシン $M$ が状態 $p \in K$ でヘッドがテープ記号 $a \in \Gamma$ を読み込んで，テープ記号 $a \in \Gamma$ をテープ記号 $b \in \Gamma$ に書き換えて，ヘッドを右に一コマ動かして状態を $q$ に変更するとき，これを，\[\delta(p,a) = (q,b,R)\]と表現します．
同様にして，ヘッドを左に一コマ動かすという場合は，\[\delta(p,a) = (q,b,L)\]と表現します．
$\delta$ は状態遷移関数といい，$K \times \Gamma$ から $K \times \Gamma \times \{L,R\}$ への部分関数となります．
テープの枡目に何も書かれていないことを示す空テープ記号を $\sqcup$（空テープ記号を $B$ で表す場合もあります），$q_{0} \in Q$ を初期状態，$F \subset Q$ は受理状態の集合とすると，チューリングマシン $M$ は，\[M = (Q,\Sigma,\Gamma,\delta,q_{0},\sqcup,F)\]と表されます．
有限オートマトンを，テープの先頭からテープ記号 $\Gamma$ を読み込み，処理と遷移を繰り返す仮想的な機械とみなしたものがチューリングマシンということになります．
チューリングマシンは，
チューリングマシンは，有限オートマトンやプッシュダウンオートマトンでは認識できなかった言語 $\mathcal{L}$ の認識が可能です．
また，テープと記憶装置を備えているチューリングマシンは，CPUとメモリを備えているコンピュータと計算能力が等しく，コンピュータの基本モデルでもあります．
Mathematics is the language with which God has written the universe.