ネイピア数

ここで，\[0,x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},x^{4},x^{5},\cdots,x^{n}\]をそれぞれ 1回微分すると，\[0,1,2x,3x^{2},4x^{3},5x^{4},\cdots,(n)x^{n-1}\]となります．

さらに，もう1回，それぞれを微分すると，\[0,2,3 \times 2 x,4 \times 3 x^{2},5 \times 4 x^{3},\cdots,n \times (n-1) \times x^{n-2}\]となり，それぞれの $x$ の前にある係数が微分を繰り返す毎にどんどんと大きくなっていきます．

このそれぞれの $x$ の前にある係数を微分が繰り返されても大きくならないようにするためには，\[0,x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},x^{4},x^{5},\cdots,x^{n},\cdots\]を\[0,x^{0},\frac{1}{1!}x^{1},\frac{1}{2!}x^{2},\frac{1}{3!}x^{3},\frac{1}{4!}x^{4},\frac{1}{5!}x^{5},\cdots,\frac{1}{n!}x^{n},\cdots\]とする必要があります．

こうすると，\[0,x^{0},\frac{1}{1!}x^{1},\frac{1}{2!}x^{2},\frac{1}{3!}x^{3},\frac{1}{4!}x^{4},\frac{1}{5!}x^{5},\cdots,\frac{1}{n!}x^{n},\cdots\]を1回微分すると，\[0,0,1,x,\frac{1}{2!}x^{2},\frac{1}{3!}x^{3},\frac{1}{4!}x^{4},\cdots,\frac{1}{(n-1)!}x^{n-1},\cdots\]となります．

そして，\[0,x^{0},\frac{1}{1!}x^{1},\frac{1}{2!}x^{2},\frac{1}{3!}x^{3},\frac{1}{4!}x^{4},\frac{1}{5!}x^{5},\cdots,\frac{1}{n!}x^{n},\cdots\]の和をとったものと，，\[0,0,1,x,\frac{1}{2!}x^{2},\frac{1}{3!}x^{3},\frac{1}{4!}x^{4},\cdots,\frac{1}{(n-1)!}x^{n-1},\cdots\]の和をとったものが等しくなります．

これは，\[0,x^{0},\frac{1}{1!}x^{1},\frac{1}{2!}x^{2},\frac{1}{3!}x^{3},\frac{1}{4!}x^{4},\frac{1}{5!}x^{5},\cdots,\frac{1}{n!}x^{n},\cdots\]を何回微分しても同じです．

すなわち，\[0+x^{0}+\frac{1}{1!}x^{1}+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{4!}x^{4}+\frac{1}{5!}x^{5}+ \cdots +\frac{1}{n!}x^{n}+\cdots\]は何回微分を繰り返しても値が変わらない数ということになります．

この何回微分を繰り返しても値が変わらない数を $e^{x}$ と表すことにします．

つまり，\[e^{x}=0+x^{0}+\frac{1}{1!}x^{1}+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{4!}x^{4}+\frac{1}{5!}x^{5}+ \cdots +\frac{1}{n!}x^{n}+\cdots\]と表します．

ここで，$e^{x}$ における $x$ を 1 とすると，\[e=0+1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+ \cdots +\frac{1}{n!}+\cdots\]となります．

上の式の右辺は\[e=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\]に等しくなります．

すなわち，何回微分しても値が変わらない数というのは実はネイピア数[Napier's constant]なのです．

Mathematics is the language with which God has written the universe.