次に，この自然対数をとったベルヌーイ分布の確率密度関数の $x$ における微分を考えます．その前に，$\ln x!$ の微分を導いておきます．まず，$\ln x!$ は $x$ が十分大きな自然数である場合には，$x$ が $1$ だけ増加しても，ほんの少ししか増加しません．従って，$\Delta x=1$ における平均変化率を $x$ における微分係数と考えることができます．つまり，\[\begin{eqnarray}(\ln x!)' \simeq \frac{\ln x - \ln(x-\Delta x)!}{\Delta x}&=&\frac{\ln x - \ln(x-\Delta x)!}{1}\\&=&\ln x! - \ln(x-1)!=\ln\frac{x!}{(x-1)!}=\ln x\end{eqnarray}\]となります．
同様にして，\[{\ln(n-x)!}' \simeq {\ln(n-x)}'(n-x)'=-\ln(n-x)\]となります．\[\ln n!=定数\]であるので，\[\begin{eqnarray}\ln P_{B}'&=&-\ln x+\ln(n-x)+\ln p - \ln(1-p)\\&=&\ln\frac{(n-x)}{(1-p)x}\end{eqnarray}\]となります．
ここで，$\ln P_{B}'=0$ のとき，\[\ln\frac{p(n-x)}{(1-p)x}=0,\frac{p(n-x)}{(1-p)x}=1\]つまり，\[p(n-x)=(1-p)x\]さらに変形して，\[np-px=x-px\]つまり，\[x=np=\mu\]となります．
ここで，\[\ln P_{B}'=-\ln x+\ln(n-x)+\ln p - \ln(1-p)\]を，さらに，$x$ で微分すると，\[\ln P_{B}''=-\frac{1}{x}+\frac{-1}{n-x}=-\frac{n}{x(n-x)}\]となります．この $x$ に先ほどの式で導いた $x=np=\mu$ を代入します．\[\ln P_{B}''=-\frac{n}{np(n-np)}=-\frac{1}{np(1-p)}=-\frac{1}{npq}\]ここで，\[npq=\sigma^{2}\]であることから，\[\ln P_{B}''=f''(\mu)=-\frac{1}{\sigma^{2}}\]となります．
さらに，$P_{B}$ を $x=\mu$ のまわりでテイラー展開すると，$P_{B}=f(x)$ とおいて，\[P_{B}=f(x)=f(\mu)+\frac{f'(\mu)}{1!}(x-\mu)+\frac{f''(\mu)}{2!}(x-\mu)^{2}+\frac{f^{(3)}(\mu)}{3!}(x-\mu)^{3}+\cdots\]となりますが，第3項以降は，\[x \simeq \mu\]であることより，\[\frac{(x-\mu)^{k}}{k!} \simeq 0\]となるので，\[\ln P_{B}=f(x)=f(\mu)-\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}\]となります．
ここで，\[f(x)=\ln P_{B}(x)\]であることから，\[\ln P_{B}(x) \simeq \ln P_{B}(\mu) + \ln e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\]さらに，\[P_{B}(\mu)=定数=c\]であることから，\[\ln P_{B}(x) \simeq \ln c \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\]ここで，確率密度の必要十分条件から，\[\int_{\infty}^{\infty}c \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}=1\]となります．\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}\]とおくと，\[dz=\frac{1}{\sigma}dx\]つまり，\[dx=\sigma dz\]となることから，\[c \cdot \int_{\infty}^{\infty}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\sigma dz=1\]となりますが，\[\int_{\infty}^{\infty}e^{-\frac{z^{2}}{2}}=\sqrt{2\pi}\]となるので，\[c \cdot \sqrt{2\pi}\sigma=1\]となり，結局，\[c=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\]となります．
つまり，確率密度関数は，\[\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\]となり，正規分布 $N(\mu,\sigma^{2})$ の確率密度分布となります．
Mathematics is the language with which God has written the universe.