ペアノの公理

ジュゼッペ・ペアノ（1858-1932）による，算術の形式的な基準となる公理は5つの公理から成り立っています.

自然数の集合を $\mathbb{N}$ とすると，ペアノの公理は次のように表されます.

1. $\exists 0 \in \mathbb{N}$
   $0$ は自然数.
2. $\forall n \in \mathbb{N}:\exists n+1 \in \mathbb{N}$
   全ての自然数には，要素 $n$ に対して，$n+1$ を対応させる規則が定まっています（つまり後者があります）.
3. $\forall n,m \in \mathbb{N}:n+1=m+1 \to n=m$
   $n+1=m+1$ ならば $n=m$ となります.
4. $\forall n \in \mathbb{N}:n+1 \neq 0$
   $n$ が自然数ならば，$n+1$ は $0$ にはなりません.
5. $\forall \mathbb{S} \subset \mathbb{N}:$
   $(0 \in \mathbb{S} \lor \forall n:\in \mathbb{S} \to n+1 \in \mathbb{S}$
   $\to \mathbb{S} \to \mathbb{N}$
   $\mathbb{N}$ は上記の条件を満たす最小の集合です.$\mathbb{N}$のどのような真部分集合も上記の条件は満たしません.満たすならば $\mathbb{N}$ となります.

Mathematics is the language with which God has written the universe.