ヤコビアン

$uv-$平面における小さな四角形 $[u,u+du]\times[v,v+dv]$ に対応する $xy-$平面における小さな四角形は，\[(x(u,v),y(u,v)),(x(u+du,v),y(u+du,v)),(x(u,v+dv),y(u,v+dv)),(x(u+du,v+dv),y(u+du,v+dv))\]という4つの頂点から構成されます．

この四角形を作る2つのベクトルは，$du,dv$ が非常に小さいとすると，\[\left[ \begin{matrix} x\left(u+du,v\right)-x\left(u,v\right) \\ y\left(u+du,v\right)-y\left(u,v\right)\end{matrix} \right]\approx\left[ \begin{matrix}\dfrac {\partial x} {\partial u}\\\dfrac {\partial y} {\partial u}\end{matrix} \right]du\] \[\left[ \begin{matrix} x\left(u,v+dv\right)-x\left(u,v\right) \\ y\left(u,v+dv\right)-y\left(u,v\right)\end{matrix} \right]\approx\left[ \begin{matrix}\dfrac {\partial x} {\partial u}\\\dfrac {\partial y} {\partial u}\end{matrix} \right]dv\]ところで，ベクトル$(a,b)$と$(c,d)$の作る四角形の面積は，\[\left[ \begin{matrix} a& b\\ c& d\end{matrix} \right]\]の行列式 $ad-bc$ となります．

従って，先の小さな四角形の面積は，\[det\left[ \begin{matrix} \dfrac {\partial x} {\partial u}du & \dfrac {\partial x} {\partial v}dv \\ \dfrac {\partial y} {\partial u}du & \dfrac {\partial y} {\partial v}dv \end{matrix} \right]=det\left[ \begin{matrix} \dfrac {\partial x} {\partial u} & \dfrac {\partial x} {\partial v} \\ \dfrac {\partial y} {\partial u} & \dfrac {\partial y} {\partial v} \end{matrix} \right]dudv=J(u,v)dudv\]ここで，$J$はヤコビアンと呼ばれます．

整理すると，ヤコビアンという関数$J(u,v)$を，\[J(u,v) \equiv \dfrac {\partial (x,y)} {\partial (u,v)} \equiv det \left[\begin{matrix} \dfrac {\partial x} {\partial u} & \dfrac {\partial x} {\partial v} \\ \dfrac {\partial y} {\partial u} & \dfrac {\partial y} {\partial u} \end{matrix}\right]\]と定義します．

ここで，変数変換は，

• 領域 $A$ と領域 $B$ の点が1対1に対応
• $x=x(u,v)$と$y=y(u,v)$が偏微分可能で導関数が連続
• 領域$B$内でヤコビアン$J(u,v)$が$0$ではない

という十分に性質の良いものであるとき，\[\int \int _{A}f(x,y)dxdy=\int \int _{B}g(u,v)|J(u,v)|dudv\]が成り立ちます．

Mathematics is the language with which God has written the universe.