リーマン＝スティルチェス積分

ある関数 $g(x)$ に対して，\[g^{+}(x) \equiv max{g(x)0},g^{-}(x) \equiv max{-g(x)0}\]とおくと，\[g^{+}(x),g^{-}(x) \geqq 0\]となります．ここで，\[F_{X} \equiv P(X \leqq x)\]とすると，\[\begin{eqnarray}\int_{-\infty}^{\infty} g^{+}(x)dF_{X}(x) &\equiv& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n2^{n}-1}\frac{k}{2^{n}}P(\frac{k}{2^{n}} \leqq g^{+}(x) \leqq \frac{k+1}{2^{n}})\\ \int_{-\infty}^{\infty} g^{-}(x)dF_{X}(x) &\equiv& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n2^{n}-1}\frac{k}{2^{n}}P(\frac{k}{2^{n}} \leqq g^{-}(x) \leqq \frac{k+1}{2^{n}})\end{eqnarray}\]とするとき，\[\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dF_{X}(x) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} g^{+}(x)dF_{X}(x) - \int_{-\infty}^{\infty} g^{-}(x)dF_{X}(x)\]をリーマン＝スティルチェス積分[Riemann=Stieltjes integral]といいます．