三相全波整流回路

三相交流の相電圧を $e_{1},e_{2},e_{3}$ とすると,\[\begin{eqnarray} e_{1}&=&\sqrt{2}E\sin\theta\\e_{2}&=&\sqrt{2}E\sin\left( \theta - \frac{2}{3}\pi \right)\\e_{3}&=&\sqrt{2}E\sin\left( \theta - \frac{4}{3}\pi \right) \end{eqnarray}\]線間電圧は,\[\begin{eqnarray}e_{12}&=&e_{1}-e_{2}\\&=&\sqrt{2}\sin\theta - \sqrt{2}E\sin\left( \theta - \frac{2}{3}\pi \right)\\&=&2\sqrt{2}E\cos\left(\theta - \frac{\pi}{2} \right)\sin\frac{\pi}{3}\end{eqnarray}\]となる.

ここで,\[\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]であることから,\[\begin{eqnarray}2\sqrt{2}E\cos\left(\theta - \frac{\pi}{2} \right)\sin\frac{\pi}{3}&=&2\sqrt{2}E\cos\left(\theta - \frac{\pi}{2} \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\&=&\sqrt{6}E\cos\left(\theta - \frac{\pi}{2} \right)\end{eqnarray}\]となる.

負荷の平均電圧を $E_{d}$ とすると,線間電圧の周期は,\[\frac{\pi}{3}\]であり,積分区間は三相交流*の性質から,\[\frac{\pi}{6} +\alpha \sim \frac{\pi}{6}\pi+\frac{\pi}{3}\pi+\alpha \]であり,\[\frac{\pi}{6}\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\]であるから,積分区間は結局,\[\frac{\pi}{6} +\alpha \sim \frac{\pi}{2}\pi+\alpha\]となる.

すなわち,\[\begin{eqnarray}E_{d}&=&\frac{1}{\frac{\pi}{3}}\int_{\frac{\pi}{6}+\alpha}^{\frac{\pi}{2}\pi+\alpha}\sqrt{6}E\cos\left(\theta - \frac{\pi}{3}d\theta \right)\\&=&\frac{3\sqrt{6}}{\pi}E[\sin\left(\theta - \frac{\pi}{3} \right)]_{\frac{\pi}{6}+\alpha}^{\frac{\pi}{2}+\alpha}\\&=&\frac{3\sqrt{6}}{\pi}E \cdot 2\cos\alpha\sin\frac{\pi}{6} \end{eqnarray}\]ここで,\[\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\]であるから,\[\frac{3\sqrt{6}}{\pi}E \cdot 2\cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}=\frac{3\sqrt{6}}{\pi}E \cdot \cos\alpha\]

ここで,線間電圧は,\[E_{s}=\sqrt{3}E\]であるので,\[\begin{eqnarray}E_{d}&=&\frac{3\sqrt{6}}{\pi}E \cdot \cos\alpha\\&=&\frac{3\sqrt{6}}{\pi} \cdot \left(\frac{E_{s}}{\sqrt{3}} \right)\cdot \cos\alpha\\&=&\frac{3\sqrt{2}}{\pi}E_{s} \cdot \cos\alpha\\&=&1.35E_{s} \cdot \cos\alpha\end{eqnarray}\]となる.

Mathematics is the language with which God has written the universe.