三角関数の加法定理

上図において円の半径を $1$ とすると，\[P(cos \alpha,sin \alpha),Q(cos \beta,sin \beta)\]であるので，\[\begin{align}PQ^{2}&=(cos \alpha - cos \beta)^{2}+(sin \alpha - sin \beta)^{2}\\&=cos^{2}\alpha-2cos \alpha cos \beta +cos^{2}\beta+sin^{2}\alpha-sin \alpha sin \beta+sin^{2}\beta\\&=2-2(cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta)\end{align}\]

また，余弦定理から，\[\begin{align}PQ^{2}&=OP^{2}+OQ^{2}-2OP \cdot OQ \cdot cos(\alpha-\beta)\\&=1^{2}+1^{2}-2 \cdot 1 \cdot 1\cdot cos(\alpha - \beta)\\&=2-2cos(\alpha-\beta)\end{align}\]となるので，\[2-2cos(\alpha-\beta)=2-2(cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta)\]

従って，\[cos(\alpha-\beta)=cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta\]となります．

次に，\[\alpha+\beta=\alpha-(-\beta)\]であるから，\[\begin{align}cos(\alpha+\beta)&=cos\{\alpha-(-\beta)\}\\&=cos \alpha cos (-\beta)+sin \alpha sin (-\beta)\\&=cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta\end{align}\]となります．

さらに，\[\begin{align}sin(\alpha+\beta)&=cos\{90^\circ-(\alpha+\beta)\}\\&=cos\{(90^\circ-\alpha)-\beta\}\\&=cos(90^\circ-\alpha)cos\beta+sin(90^\circ-\alpha)sin\beta\\&=sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta\end{align}\]となります．

さらに，\[\begin{align}sin(\alpha-\beta)&=sin\{\alpha+(-\beta)\}\\&=sin \alpha cos(-\beta)+cos \alpha sin(-\beta)\\&=sin\alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta\end{align}\]となります．

また，\[\begin{align}tan(\alpha+\beta)&=\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos(\alpha+\beta)}\\&=\frac{sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta}\end{align}\]となるので，分子と分母を\[cos \alpha cos \beta\]で割ると，\[tan(\alpha+\beta)=\frac{tan \alpha + tan \beta}{1-tan \alpha tan \beta}\]となります．

同様にして，\[\begin{align}tan(\alpha-\beta)&=\frac{sin(\alpha-\beta)}{cos(\alpha-\beta)}\\&=\frac{sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta}{cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta}\end{align}\]分子と分母を\[cos \alpha cos \beta\]で割ると，\[tan(\alpha-\beta)=\frac{tan \alpha - tan \beta}{1+tan \alpha tan \beta}\]となります．

Mathematics is the language with which God has written the universe.