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from numpy import *
import pylab as plt
#“linspace(開始値，終了値，分割数)”で線形数列を生成
x = linspace(-3*pi, 3*pi, 150)
#数列をsinの引数に入れて，sin(x)の数列を生成
y = sin(x)
plt.plot(x, y, color="k", marker="o",markersize="2")
#plotした関数を表示
plt.show()
$\angle \theta$ の余角（co-angle）は $90^\circ - \angle \theta$ となります．
そうすると，余弦，余割，余接は余角に対する正弦，正割，正接として表されます．\[cos \theta = sin(90^\circ - \theta)\]\[cosec \theta = sec(90^\circ - \theta)\]\[cot \theta = tan(90^\circ - \theta)\]
ピタゴラスの定理（Pythagorean theorem）から，\[a^{2}=b^{2}+c^{2}\]となります．
ここで，\[sin \theta = \frac{b}{a}\]なので，\[a \cdot sin \theta = b\tag{1}\]となります．
また，\[cos \theta = \frac{c}{a}\]なので，\[a \cdot cos \theta = c\tag{2}\]となります．
$(1)$と$(2)$から，\[\begin{align} a^{2} &= b^{2}+c^{2} \\ &=a^{2} \cdot sin^{2} \theta + a^{2} \cdot cos^{2} \theta\\ &=a^{2}\cdot (sin^{2} \theta + cos^{2} \theta ) \end{align} \]両辺を $a^{2}$ で割ると，以下の関係式が得られます．
【公式】ピタゴラスの基本三角関数公式
この関係式は，ピタゴラスの基本三角関数公式（Fundamental Pythagorean trigonometric identity）と言われています．
ピタゴラスの定理（Pythagorean theorem）は直角三角形に対して成り立つ定理です．これを直角三角形以外に一般化したものが第2余弦定理（law of cosines, cosine formula）です．なお，一般的に余弦定理と言えば，第2余弦定理のことを指しています．
上の図から，\[cos \theta =\frac{d}{a}\]となるので，\[d=a \cdot cos \theta\]となります．
さらに，\[sin \theta = \frac{e}{a}\]なので，\[e = a \cdot sin \theta\]となります．
ここで，\[\begin{align} f &= c-d \\ &=c-a \cdot cos \theta \end{align} \]であることより，\[b^{2}=e^{2}+f^{2}\]というピタゴラスの定理に，\[e=a \cdot sin \theta\]\[f=c-a \cdot cos \theta \]を代入して，\[\begin{align} b^{2} &=e^{2}+f^{2} \\ &=(a \cdot sin \theta)^{2}+(c-a \cdot cos \theta)^{2}\\ &=a^{2} \cdot sin^{2}\theta + c^{2}-2ac \cdot cos \theta + a^{2} \cdot cos^{2} \theta \\ &=c^{2}+a^{2}(sin^{2}\theta+cos^{2}\theta)-2ac \cdot cos \theta \end{align}\]ここで，ピタゴラスの基本三角関数公式より，\[sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\]であるから，結局，以下の定理が成り立ちます．
【定理】第2余弦定理
Mathematics is the language with which God has written the universe.