亜群
群の一般化には，
モノイド[monoid]と
亜群[groupoid]の2つの方向があります．そして，両方向に一般化したものとして
圏[category]があります．
群の公理から逆元の存在をはずしたものがモノイド[monoid]になります．
そして，集合が複数ある場合に拡張したものが亜群[groupoid]になります．
同値関係[equivalence relation]
区別されて認識された対象どうしを同一視できる関係，つまり，図形の合同[congruence]，相似[similarity]は同値関係[equivalence relation]といわれます．
【公理】同値関係[equivalence relation]
2つの対象 $x,y$の間の関係$x \sim y$が以下を満たすとき，その関係$x \sim y$を
同値関係[equivalence relation]といいます．
- 推移律：$x \sim y,y \sim x \Rightarrow x \sim x$
- 反射律：$x \sim x$
- 対象律：$x \sim y \Rightarrow y \sim x$
なお，アフィン変換[affine transformation]や射影変換[projective transformation]は弱い同値関係を与える操作になっています．
群[Group]
同値関係[equivalence relation]に似ている対称性[symmetry]の持つ性質を明らかにしているのが群の公理になります．
【公理】群[Group]
集合$G$上に，$x,y \in G$に$x \cdot y \in G$を対応させる演算 $\cdot$ が以下が成り立つように定義されるとき，$G$は
群[Group]とよばれます．
- 結合則：$(x \cdot y) \cdot z=x \cdot (y \cdot z)$
- 単位元 $e \in G$ の存在
- $G$の各元$x$に対する逆元$x^{-1}$の存在
亜群[groupoid]
同値関係[equivalence relation]の推移律・反射律・対称律と群[Group]の結合則・単位元の存在・逆元の存在，の間には類似性がみてとれます．
その根底にあり，両者を結び付けるのが亜群[groupoid]になります．
【公理】亜群[groupoid]の公理
添字付けされた元[要素]の集まりを族といいますが，その族$X_{i}(i \in I)$に対して，$X_{i}$から$X_{j}$への変換全体の集合$G_{ij}$と，変換の合成$G_{ij} \times G_{jk} \to G_{ik}$について，
- $f \in G_{ij},g \in G_{jk},h \in G_{kl}$に対して，$(hg)f=h(gf)$
- $e_{i} \in G_{ii}(i \in I)$が存在し，任意の$f \in G_{ij}$に対して，$e_{j}f=f,fe_{j}=f$
- 任意の$f \in G_{ij}$に対して，その逆$f^{-1} \in G_{ji}$が存在して，$f^{-1}f=e_{i},ff^{-1}=e_{j}$
が成り立つことを
亜群[groupoid]の公理といいます．
亜群[groupoid]の公理から$G_{ii}$が群になることが導かれます．
また，$G_{ij} \neq \emptyset$とすると同値関係が導かれます．
さらに，亜群[groupoid]の公理の3番目の条件を除くと圏の公理となります．\[\{G_{ij}\}_{i,j \in I}\]という圏を考えるとき，$i \in I$を対象[object]，集合$G_{ij}$の元を射[morphism]といいます．
Mathematics is the language with which God has written the universe.
