位相空間

『距離』の概念を抽象化したものが『位相』になる．

つまり，遠い近いを測る『距離』があれば，『開集合』の概念を導入することで，収束や連続について詳細に考えることが出来る．極限や連続の概念は『開集合』によって定義が可能．$\mathcal{U}$ が『開集合』であるというのは,$\mathcal{U}$ の任意の点について,その点の周りの点が全て $\mathcal{U}$ に含まれるということ.

この抽象化を，さらに進めると，開集合の族が定義された，位相空間という集合を考えるということに行きつく．

冪集合[power set]

与えられた集合から，その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことを冪集合[power set]といいます．\[\mathcal{P}(X):=\{A|A \subseteq X\}\]

位相空間[topological space]

集合 $X$ の冪集合[power set]の部分集合を開集合 $\mathcal{U}$ とする．このとき，

$\emptyset,X \in \mathcal{U}$
$\forall U_{1},U_{2} \in \mathcal{U} \to U_{1} \cap U_{2} \in \mathcal{U}$
$\forall\{U_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda} \subset \mathcal{U} \to \cup_{\lambda \in \Lambda}U_{\lambda} \in \mathcal{U}$

を満たす $\mathcal{U}$ を位相[topology]といい，$(X, \mathcal{U})$ を位相空間[topological space]という．
また，$X$ をこの空間の土台の集合という．

位相空間[topological space]の条件の 1 は,空集合と $X$ は開集合であるということであり,2 は有限個の開集合の交わりは開集合になるということを意味している.最後の 3 は任意個の開集合の和集合は開集合ということを意味している.

位相空間は距離空間を抽象化したものと言える．

従って，『距離空間』の『開集合』は上記の条件を満たしている．そして，当然ながら，『距離空間』は『位相空間』となる．

Mathematics is the language with which God has written the universe.

ベルヌーイ分布とポアソン分布 - 位相空間 - 対合 - ドイツ文字 - 二項定理