内積

定義：内積[inner product]

$V$ を $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間とする.$V$ の任意の2つのベクトル $v , w$ と $\lambda \in \mathbb{R}$ に対して,実数 $(v , w) \in \mathbb{R}$ が1つ決まり,以下の条件を満たすとき,

$\mathbb{R}$ 上のベクトル空間 $V$ 上に内積 $(\cdot,\cdot)$ が1つ定義されたという.

第1成分に関する線型性とは,\[\begin{eqnarray}(v_{1}+v_{2},w)&=&(v_{1},w)+(v_{2},w)\\(\lambda v,w)&=&\lambda(v,w) \end{eqnarray}\]が成り立つことをいう.

第2成分に関する線型性とは,\[\begin{eqnarray}(v,w_{1}+w_{2})&=&(v,w_{1})+(v,w_{2})\\(v,\lambda w)&=&\lambda(v,w) \end{eqnarray}\]が成り立つことをいう.

対称性とは,\[(v,w)=(w,v)\]が成り立つことをいう.

Mathematics is the language with which God has written the universe.