内積と外積

内積（inner product）の公理

ベクトル $a,b$ に対して，$\verb|<|a,b\verb|>|$ というスカラ値を割り当てたとき，

• 正値性（positivity）:$\verb|<| a,a \verb|>| \geq 0$
• 対称性（symmetry）:$\verb|<|a,b\verb|>|=\verb|<|b,a\verb|>|$
• 線形性（linearity）:$\verb|<|a,\alpha_{1}b+\alpha_{2}c\verb|>|=\alpha_{1}\verb|<|a,b\verb|>|+\alpha_{2}\verb|<|a,c\verb|>|$

という条件を満たすならば，内積（inner product）といいます．

内積の成分表示

内積は，\[\verb|<|a,b\verb|>|=|a||b|cos \theta=Oa \cdot Obcos \theta \tag{1}\]と表されます．

ここで，$\bigtriangleup aOb$ に注目します．余弦定理から，\[ab^{2}=Oa^{2}+Ob^{2}-2 \cdot Oa \cdot Ob cos \theta\]となりますが，これを変形すると，\[Oa \cdot Ob cos \theta=\frac{1}{2}(Oa^{2}+Ob^{2}-ab^{2})\tag{2}\]となります．

$(1),(2)$ から，\[\begin{align}\verb|<|a,b\verb|>| &= \frac{1}{2}(Oa^{2}+Ob^{2}-ab^{2})\\&=\frac{1}{2}[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})-{(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}]\\&=\frac{1}{2}(2a_{1}b_{1}+2a_{2}b_{2})\\&=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\end{align}\]となります．

外積（outer product）の公理

同一線上にないベクトル $a,b,c$ に対して，例えば，$a,b$ のベクトルの張る平面を，$a \wedge b$ と表すとします．

このとき，

• 反対称性（antisymmetry）:$a \wedge b = -b \wedge a$
• 分配則（distributivity）:$a \wedge (\alpha_{1} b + \alpha_{2} c)=\alpha_{1} a \wedge b + \alpha_{2} a \wedge c$
• 結合則（associativity）:$a \wedge(b \wedge c)=(a \wedge b) \wedge c$
• スカラ演算（scalar operation）:$\alpha_{1} \wedge a=\alpha_{1} a$

という条件を満たすならば，外積（outer product）といいます．

Mathematics is the language with which God has written the universe.