水平面上で物体が角加速度 $\omega$ ，半径 $r$ の円運動をしているとします．この物体が $T$ 秒掛けて円を一周しているならば，角速度は，\[\omega=\frac{2\pi}{T}[s^{-1}]\]と表せます．$[s^{-1}]$ は単位です．
円周は，$2\pi r$ であるので，この円周を $T$ 秒掛って一周するので，速度 $V$ は \[V=\frac{2\pi r}{T}\]となります．この式に\[\omega=\frac{2\pi}{T}\]を代入すると，\[V=r\omega\]となります．
いま，図で点 $P$ に物体があるとします．そうすると，$x$ 方向の速度を $u$，$y$ 方向の速度を $v$ とおくと，\[\begin{align}u&=-r\omega\sin\omega t\\v&=r\omega\cos\omega t\end{align}\]となります．
次に$x$ 方向の加速度，$y$ 方向の加速度を求めます．$u,v$ を $sin$ 関数，$cos$ 関数の微分（⇒*）を用いて微分すると，\[\begin{align}u'&=-r\omega^{2}\cos\omega t\\v'&=-r\omega^{2}\sin\omega t\end{align}\]となります．
つまり，加速度ベクトルの大きさは，\[r\omega^{2}\]となるので，\[V=r\omega\]を代入すると，結局のところ加速度ベクトルは，\[\frac{V^{2}}{r}\]となります．この加速度ベクトルは円運動の中心に向いて，求心加速度（centripetal acceleration）といいます．
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