写像

$X$ は $f$ の定義域[domain]，$Y$ は値域[range]と言われます．

集合における写像は，線型代数における線型写像，群論における群準同型，位相空間における連続写像とともに，型射もしくは射と言われる概念に一般化されます．そこでは，写像よりも抽象的な概念である 射[morphism] $f$ が，集合よりも抽象的な概念である始域[domain] $X$ と終域[codomain] $Y$ を持つとき，これを $f: X \to Y$ と表されます．

---

footnote

---

写像のグラフ：任意の $x \in X$ に対して，部分集合\[\Gamma \subset X \times Y\]として，\[(x,y) \in \Gamma\]を満たす元 $y \in Y$ が唯一存在するとき，部分集合\[\Gamma \subset X \times Y\]を $X$ から $Y$ への写像[mapping]のグラフといいます.\[\forall x \in X \exists y\]\[\in Y((x,y) \in \Gamma \land \forall z \in Y((x,z) \in \Gamma \to y=z))\]という条件を満たすとき，\[\Gamma \subset X \times Y\]は写像のグラフになります.
この条件を満たす $\Gamma$ と 集合 $X,Y$ の組である\[(\Gamma \subset X \times Y,X,Y)\]が\[写像 f:X \to Y\]の集合論的な定義になります.

ここで，$X$ から $Y$ への写像全体のなす集合を，\[Y^{X}=\{f:X \to Y\}\]とすると，$f \in Y^{X}$ に対して，そのグラフ\[\Gamma_{f} \in P(X \times Y)\]を対応させる写像は単射になります.

ちなみに，\[X = Y = \mathbb{R}\]ならば $f$ は関数になり，$\Gamma$ は関数のグラフとなります.

定義域（domain）と値（value）：\[f:X \to Y\]を写像とし，\[\Gamma \subset X \times Y\]を $f$ のグラフとしたとき，$X$ を $f$ の定義域（domain）といいます.
また，\[(x,y) \in \Gamma\]であるとき，$y \in Y$ を $f$ による $x \in X$ の値（value）といいます.この$y \in Y$ は \[y=f(x)\]と表します.

写像の制限：\[f:X \to Y,U \subset X\]であるとき，写像\[g:U \to Y\]が\[\forall u \in U[g(u)=f(u)]\]となることを写像の制限（restriction）といいます.

ここで，\[\Gamma \subset X \times Y\]は $f$ のグラフであり，\[\Gamma \cap (U \times Y)\]は写像 $U \to Y$のグラフであるので，\[(\Gamma \cap (U \times Y),U,Y)\]が $f$ の $U$ への制限（restriction）ということになります.

これを，\[f|_{U}\]と表現します.\[x \in U,f|_{U}=f(x)\]であり，このとき，$f$ を $f|_{U}$ の延長（extension）といいます.

Mathematics is the language with which God has written the universe.