写像と射
定義：単射 injecton
写像 $f:X \rightarrow Y $ について,$X$ の任意の元 $x,x'$ に対し,\[f(x)=f(x') \to x = x' \]が成り立つとき,$f$ を単射[injection]という.
定義：全射 surjection
写像 $f:X \rightarrow Y $ について,$Y$ の任意の元 $y$ に対し,$X$ の元 $x$ が存在し, \[f(x)=y \]が成り立つとき,$f$ を全射[surjection]という.
単射と全射は写像が与える集合の中身[元]に立ち入ることによって定式化されている.
しかし,単射と全射は集合の中身に一切立ち入ることなく定義することもできる.
定義：モニック monic
射 $f:X \rightarrow Y $ について,任意の射の組 $g,h:Z \rightarrow X$ について,\[f \circ g = f \circ h \to g=h \]が成り立つとき,射 $f$ をモニック[monic]という.
\[g \circ h = h \circ f \to g=h \]という条件の形から,$f$は左簡約可能[left cancellable]という.
定義：エピック epic
射 $f:X \rightarrow Y $ について,任意の射の組 $g,h:Y \rightarrow Z$ について,\[g \circ h = h \circ f \to g=h \]が成り立つとき,射 $f$ をエピック[epic]という.
命題：モニックと単射の同値性
写像 $f:X \rightarrow Y$ がSetsの射としてモニックであることは,写像として単射であることと同値である.
命題：エピックと全射の同値性
写像 $f:X \rightarrow Y$ がSetsの射としてエピックであることは,写像として全射であることと同値である.
Mathematics is the language with which God has written the universe.
