同値関係と濃度
定義：同値関係 equivalence relation
集合 $X$ の2項関係を $R$ とする.
$(x,y) \in X \times X$ が $R$ を満たすことを $x \sim_{R} y$ と表す.
このとき,$R$ が以下の条件を満たすとき,$R$ は $X$上の同値関係[equivalence relation]という.
- 任意の$x \in X$に対して,$x \sim_{R} x$
- 任意の $x,y \in X$ に対して,$x \sim_{R} y$ ならば $y \sim_{R} x$
- 任意の $x,y,z \in X$ に対して,$x \sim_{R} y$ かつ $y \sim_{R} z$ ならば $x \sim_{R} z$
上記の(1)は反射率[reflexive law],(2)は対称律[symmetry law],(3)は推移律という.
定義：同値類 equivalence class
$A$ を $X$ の部分集合とする.
\[A = \{ y \in X | y \sim_{R} x \} \] を満たす $x \in A$ が存在するとき,$A$ は $R$ に関する $X$ の同値類[equivalence class]という.
$A$ が $X$ の同値類であるときには $A$ は $X$ の部分集合となっている.
同値類を用いることで集合を類別することができる.
定義：濃度 cardinal number
集合 $X,Y$ において,1対1,かつ,上への対応\[X \rightarrow Y \]があるとき,集合 $X$ と集合 $Y$ は対等であるといい同値関係にある.
このように,集合が対等であるとき,同じ濃度[cardinal number]を持つといい,\[|X|=|Y| \]と表す.
上の定義は,$X,Y$を集合とするとき,全単射\[ f:X \rightarrow Y\]が存在するとき濃度が等しい,と言い換えることができる.
また,\[\textbf{card}(X) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \textbf{card}(Y) \]とも表すことがある.
濃度[cardinal number]は集合のサイズと考えることができる.
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