周期2Lのフーリエ級数

周期 $2\pi$ の区分的に滑らかな周期関数 $g(\theta)$ のフーリエ級数展開は，\[\begin{eqnarray}g(\theta)&=&\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos n\theta + b_{n}\sin n\theta\right)\\a_{n}&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\cos n\theta d\theta\\b_{n}&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\sin n\theta d\theta \end{eqnarray}\]となります．

ここで，区間 $[-L,L]$ で定義された周期 $2L$ に変換します．

つまり，周期 $2\pi$ の $\theta$ を周期 $2L$ の変数 $x$ に変換します．\[x:=\frac{L\theta}{\pi}\]とすると，$\theta$ が $-\pi$ のときには $x$ は $-L$ となり，$\theta$ が $\pi$ のときには $x$ は $L$ となります．

変数を $\theta$ から $x$ に変換した関数を $f(x)$ とすると，\[g(\theta)=g \left(\frac{\pi x}{L}\right):= f(x)\]となります．

変数変換のために，$x$ を $\theta$ で微分すると，\[\frac{dx}{d\theta}=\frac{L}{\pi}\]つまり，\[dx=\frac{L}{\pi}d\theta,d\theta=\frac{\pi}{L}dx\]となります．

以上の式を使って，\[\begin{eqnarray}a_{n}&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\cos n\theta d\theta\\b_{n}&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\sin n\theta d\theta \end{eqnarray}\]を書き換えます．

すると，\[\begin{eqnarray}a_{n}&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}g(\theta) \cos n\theta d\theta\\&=&\frac{1}{\pi}\int_{-L}^{L}g(\frac{\pi x}{L})\cos (\frac{n \pi x}{L})\frac{\pi}{L}dx\\&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos (\frac{n \pi x}{L})dx \end{eqnarray}\]同様にして，，\[\begin{eqnarray}b_{n}&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}g(\theta) \sin n\theta d\theta\\&=&\frac{1}{\pi}\int_{-L}^{L}g(\frac{\pi x}{L})\sin (\frac{n \pi x}{L})\frac{\pi}{L}dx\\&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin (\frac{n \pi x}{L})dx \end{eqnarray}\]となります．

Mathematics is the language with which God has written the universe.