和と積の公式

積和の公式

\[\begin{align}\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}\\\cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}\end{align}\]

積和の公式の導出

三角関数の和と差の公式から，\[\begin{align}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\beta+\cos\alpha\sin\beta\\\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)\end{align}\]を足すと，\[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta\]となるので，\[\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}\]となります．

次に，三角関数の和と差の公式の差をとると，\[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\]となるので，\[\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}\]となります．

和積の公式

\[\begin{align}\sin A+\sin B &=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\\\sinA-\sinB&=2cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\end{align}\]

和積の公式の導出

和積の公式\[\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}\]において，\[\alpha+\beta=A,\alpha-\beta&=B\]とおくと，\[\alpha=\frac{A+B}{2},\beta=\frac{A-B}{2}\]であるので，\[\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}(\sin A+\sin B)\]となるので，\[\sin A + \sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\]となります．

同じく，和積の公式\[\cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}\]から，\[\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\]となります．

Mathematics is the language with which God has written the universe.