一方，2つの集合 $x,y$ の積集合，あるいは，共通部分，交わり（intersection）は次のように定義されます.\[x \cap y :=\{z \in x| z \in y\}\]$A=\{a,b,c\},B=\{b,c,d,e\}$ とすると $A$ と $B$ の積集合，あるいは，共通部分，交わり（intersection）は，\[x \cap y=\{b,c\}\]となります.
「$x$ がこの集合の要素であるための（必要十分）条件」を $P(x)$ と表現するとき，$P(x)$ を成り立たせる集合 $x$ 全体の集まりはクラス（class）と呼ばれますが，このクラス（class）は実は集合になるとは限らないということが知られています（ラッセルのパラドクス）.
Mathematics is the language with which God has written the universe.