商と余り

$a,b$ を整数，$b>0$ とします．

このとき，\[a=bq+r,\,\,0 \leq r < b\]を満たす整数 $q,r$ がただ1組存在します．

$q$ を $a$ を $b$ で割った商，$r$ を $a$ を $b$ で割った余り，といいます．

証明 Proof

ここで，有理数 $s$ に対して，$s$ を超えない最大の整数を，\[[s]\]と表すこととします．

そうして，\[q=[\frac{a}{b}]\]と置きます．

こうすると，余りは商よりも小さいですから，$r < b$ となり，\[0 \leq a-bq < b \]となります．

この式を変形すると，\[0 \leq \frac{a}{b}-q <1\]となります．

つまり，\[0 \leq r < b\]となり，\[a=bq+r,\,\,0 \leq r < b\]を満たす整数 $q,r$ が存在することが分かりました．

ただし，この整数 $q,r$ がただ1組なのかは分かりません．次に，この整数 $q,r$ がただ1組であることを確かめます．

仮に，このこの整数 $q,r$ と $q',r'$ の2組存在するのだとしてみましょう．

つまり，整数 $q,q',r,r' \in \mathbb{Z}$ が　\[a=bq+r=bq'+r',\,\, 0 \leq r \leq r' < b\]ということを仮定してみます．

この式を変形します．\[a=bq+r=bq'+r'\]\[bq+r=bq'+r'\]\[r-r'=bq'-bq\]\[r'-r=bq-bq'\]\[r'-r=b(q-q')\]次に，\[0 \leq r \leq r' ところで，$q,q'$ はともに整数でしたから，結局，\[0 \leq (q-q') <1\]を満たす $q,q'$ は，\[q=q'\]となり，$r,r'$ も\[r=r'\]となることが分かります．

これで，\[a=bq+r,\,\,0 \leq r < b\]を満たす整数 $q,r$ がただ1組であることが確かめられました．

Mathematics is the language with which God has written the universe.