回転運動体の運動エネルギー

回転体の慣性モーメント*を $J[\textrm{kg}\cdot\textrm{m}^{2}]$ ,角速度を $\omega[\textrm{rad/s}]$ としたとき,回転運動体の運動エネルギーは,\[E=\frac{1}{2}J\omega\quad[\textrm{J}]\]となる.

直線運動体の運動エネルギーは,物体の質量を $m$[kg],物体の速度を $v$[m/s] としたとき,\[E=\frac{1}{2}mv^{2}\quad[\textrm{J}]\]となる.

ここで,回転運動体の回転半径を $r$[m] とすると,\[\begin{eqnarray}E&=&\frac{1}{2}mv^{2}\\&=&\frac{1}{2}m(r\omega)^{2}=\frac{1}{2}mr^{2}\omega^{2}\\&=&\frac{1}{2}J\omega^{2}\quad[\textrm{J}]\end{eqnarray}\]

回転運動体の運動エネルギーと回転速度

回転運動体の運動エネルギーははずみ車効果*と回転速度 $N[[\textrm{min}^{-1}]]$ の2乗に比例する.\[E=\frac{GD^{2}N^{2}}{730}J\omega\quad[\textrm{J}]\]

\[\begin{eqnarray}E&=&\frac{1}{2}mv^{2}\\&=&\frac{1}{2}m(r\omega)^{2}=\frac{1}{2}mr^{2}\omega^{2}\\&=&\frac{1}{2}J\omega^{2}\quad[\textrm{J}]\end{eqnarray}\]であるから,角速度 $\omega$ が,\[\omega=2\pi\cdot\frac{N}{60}\]であることを用いると,\[\begin{eqnarray}E&=&\frac{1}{2}J\omega^{2}\\&=&\frac{1}{2}\left(\frac{GD^{2}}{4}\right)\omega^{2}&=&\frac{1}{2}\left(\frac{GD^{2}}{4}\right)\cdot\left(2\pi\frac{N}{60}\right)\\&=&\frac{(2\pi)^{2}GD^{2}N^{2}}{2 \times 4 \times 60^{2}}\\&\simeq&\frac{GD^{2}N^{2}}{730}\quad[\textrm{J}]\end{eqnarray}\]

Mathematics is the language with which God has written the universe.

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