対と積

上の定義において出てくる $P(X)$ は $X$ の部分集合をすべて元として含む $X$ の冪集合[power set]を表している.

対 $(a,b)$ を,$\{a,b\}$ と特に区別するために順序対ともいう.

順序対の第1成分,第2成分は第1座標,第2成分とも左射影,右射影とも言われる.

また,積[product]は直積[direct product]ともいう.

対 $(a,b)$ が対 $(c,d)$ に関して,\[(a,b)=(c,d) \]であることは\[a=c \land b=d \]と同値となる.このことを定義性質[defining property]もしくは順序対の特徴付け[characteristic property]という.

直積集合は順序対を用いて定義されたが,二項関係も順序対を用いて定義される.

座標平面と点集合

実数全体 $\mathbb{R}$ の直積集合を $\mathbb{R}^{2}$,\[\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}=\{(x,y) | x,y \in \mathbb{R}\} \]とすると,$\mathbb{R}^{2}$は実数と実数の順序対の集合となる.

このとき,直積集合 $\mathbb{R}^{2}$ の要素は点集合という.

また,平面上の点と直積集合 $\mathbb{R}^{2}$ の点とを対応させる仕掛けのことを座標系[coordinate system]といい,座標系[coordinate system]が設定された平面を座標平面[coordinate planr]という.

Mathematics is the language with which God has written the universe.