巡回群

群 $G$ の元 $a$ に対して,$a$ から生成される群を $H$ とすると,\[H=\{a^{n} | n \in \mathbb{Z} \}\]もしくは,\[H=\langle a \rangle \]と表される.

群 $G$ が1つの元 $a$ で生成されるというのは,群 $G$ が $a$ を繰り返し掛けたもの全てを元とする群となっているということを意味する.

群には逆元が存在している.つまり,元 $a$ を何回か掛け合わせると単位元 $e$ になる.このことが巡回群と呼ばれる所以である.

位数が有限個の場合は有限群といい,位数が無限個の場合は無限群という.

位数が $m$ の巡回群を $C_{m}$ と書く.巡回群 $C_{m}$ は \[a^{m}=e\]とすると,\[\{e,a,a^{2},\cdots,a^{m-1} \}\]と表現できる.

巡回群 $C_{m}$ の部分群 $H$ に含まれている元のうち,単位元 $e$ 以外で $a$ の指数の最小のものを $a^{d}$ とする.

ここで,$m$ を $d$ で割ると商が $q$,余りが $r$ になったとする.\[m=qd+r,1 \le r \le d-1 \]ここで,$a^{d} \in H$ より\[(a^{d})^{q}=a^{dq} \in H　\]となる.

また,$H$ は群であるので,$a^{dq}$ の逆元も $H$ に含まれる.\[(a^{dq})^{-1} \in H \]ところで,$C_{m}$ であるから,\[a^{dq}a^{r}=a^{dq+r}=a^{m}=e \]となる.

上式に左から $(a^{dq})^{-1}$ を掛けると,\[(a^{dq})^{-1}(a^{dq}a^{r})=(a^{dq})^{-1}e \]つまり,\[a^{r}=(a^{dq})^{-1} \in H \]となる.しかし,$r \le d-1$ であるので,$a^{d}$ が $H$ に含まれる元のうち指数が最小のものであるという仮定に矛盾する.つまり,\[r=0\]でなければならない.

$r=0$ であるということは,\[m=qd+0,\]を意味するので,部分群 $H$ の位数 $d$ は 巡回群 $C_{m}$ の位数 $m$ の約数になっている◽︎

Mathematics is the language with which God has written the universe.