底の変換公式

$a,b,c>0$ かつ $a,c \neq 1$ のとき，\[\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a} \]が成り立ちます．

2を3乗すると8になるというのは，\[2^{3}=8\] と表されます．これは，3乗すると2は8になるということ，つまり，\[3=\log_{2}8\]と同じことになります．

以上から，\[a^{\log_{a}b}=b\]となりますが，底を $c$ として両辺の対数をとると，\[\log_{c}a^{\log_{a}b}=\log_{c}b\]となります．

この式を変形すると，\[\log_{a}b\log_{c}a=\log_{c}b\]となります．

この両辺を，$\log_{c}a$ で割ると，\[\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\]が得られます．□

Mathematics is the language with which God has written the universe.