最大公約数
整数 $m$ ,自然数 $n$ に対して,$m$ を $n$ で割った商を $q$,余りを $q$ とすると,整数 $m$ と自然数 $n$ との関係は,\[ m=qn+r,0 \leq r < n\]となる.上式において,余り $r$ が $0$ であるときは,整数 $m$ は自然数 $n$ で割り切れるという.
割り切れる
整数 $m,n$ に対して,整数 $q$ が存在し,\[m=qn\]となるとき,整数 $m$ は整数 $n$ で割り切れるといい,\[n \mid m \]と表現する.ここで,整数 $n$ は整数 $m$ の約数[divisor]である.
整数 $m$ が整数 $n$ で割り切れないときは,\[n \nmid m \]と表現する.
有理整数環
自然数の集合 $\mathbb{N}$ に $0$ と自然数にマイナスを付けた負の整数を加えたものを整数[integer]の集合といい,\[ \mathbb{Z}\]で表す.整数[integer]の集合のことを有理整数環[ring of rational integers]ともいう.
最大公約数[GCD,great common divisor]
$m_{1},m_{2} \in \mathbb{Z}$ に対して,\[n \mid m_{1},n \mid m_{2} \]となる最大の自然数を $m_{1},m_{2}$ の最大公約数[GCD]という.
$m_{1},m_{2}$ の最大公約数[GCD]は $GCD(m_{1},m_{2})$ もしくは $(m_{1},m_{2})$ と表す.
Mathematics is the language with which God has written the universe.
