最大の定理
$k$ を定数とする.$a ,b$ の和 $( a+b )$ が一定であるので,\[a+b=k\]とおくことができる.
そのため,\[b=k-a\]となる.
よって,\[\begin{eqnarray}ab&=&a \times (k-a)\\&=&ak-a^{2}\\&=&-(a^{2}-ka)\\&=&\left(a - \frac{k}{2} \right)^{2}+\frac{k^{2}}{4}\end{eqnarray}\]上式は上に凸の2次関数なので,\[a=\frac{k}{2}\]のときに最大値をとる.
最小の定理
$k$ を定数とする.$a ,b$ の和 $( a \times b )$ が一定であるので,\[a \times b=k\]とおくことができる.
そのため,\[b=\frac{k}{a}\]となる.
よって,\[y(a)=a + \frac{k}{a}\]と表すことができる.
上式は$y'(a)=0$ のときに極大・極小となる.
すなわち,\[y'(a)=1-\frac{k}{a^{2}}=0\]のときに極大・極小となる.
また,\[y"(a)=\frac{2k}/{a^{3}}\]であるため,$a>0$ のとき $y(a)$ は最小値,$a<0$ のとき $y(a)$ は最大値をとる.
つまり,$k>0$ として,\[a=b=\sqrt{k}\]のときに最大値をとる.
Mathematics is the language with which God has written the universe.