有効落差*の変化により,水車の回転速度,流量,出力も変化する.
回転速度の変化
回転速度を $N$,有効落差*を $H$ とすると,\[H=\frac{v^{2}}{2g}\]より,\[v=\sqrt{2gH}\]であるので,比例定数を $k_{1},k_{2}$ とすると,\[N \propto k_{1}v=k_{1}\sqrt{2gH}=k_{2}H^{\frac{1}{2}} \propto H^{\frac{1}{2}}\]となる$\square$
流量の変化
流量を $Q$,流速を $v$,管路の断面積を $S$ とすると比例定数を $k_{3}$ として,\[Q=vS=S\sqrt{2gH}=k_{3}H^{\frac{1}{2}} \propto H^{\frac{1}{2}}\]となる$\square$
出力の変化
出力を $P$,効率を $\eta$ とすると,\[P=9.8QH\eta=9.8k_{4}H\]となる.ここで,\[Q=k_{3}H^{\frac{1}{2}} \]を代入し $k_{4}$ を比例定数 とすると,\[P=9.8QH\eta=9.8k_{3}H^{\frac{1}{2}}H=k_{4}H^{\frac{3}{2}} \propto H^{\frac{3}{2}}\]
Mathematics is the language with which God has written the universe.