正弦波交流の実効値

正弦波交流電圧*の瞬時値 $v(t)$ は最大値 $V_{m}$ を用いて,\[v(t)=V_{m}\sin\theta\]と表される.この式を2乗すると,\[v(t)^{2}=V_{m}^{2}\sin^{2}\theta\]ここで,2倍角の公式\[\cos2\theta=1-2\sin^{2}\theta\]より,\[\begin{eqnarray}\cos 2\theta&=&1-2\cos 2\theta\\\sin^{2}\theta&=&\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos2\theta \end{eqnarray}\]となる.

従って,\[\begin{eqnarray}v(t)^{2}&=&V_{m}^{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (1-\cos 2\theta)\\&=&\frac{V_{m}^{2}}{2}-\frac{V_{m}^{2}}{2}\cos 2\omega t\end{eqnarray}\]となる.

これを平均すると,\[\begin{eqnarray}V^{2}_{avg}&=&\int_{0}^{2\pi}\frac{V_{m}^{2}}{2}\textrm{d}\theta-\int_{0}^{2\pi}\frac{V_{m}^{2}}{2}\cos\theta\textrm{d}\theta\\&=&\frac{V_{m}^{2}}{2}-\frac{V_{m}^{2}}{2}[\sin\theta]^{2\pi}_{0}\\&=&\frac{V_{m}^{2}}{2}-\frac{V_{m}^{2}}{2}(0-0)\\&=& \frac{V_{m}^{2}}{2}\end{eqnarray}\]となる.

従って,\[V=\frac{V_{m}}{\sqrt{2}}\]

Mathematics is the language with which God has written the universe.