ベルリン大学のプランク[1858-1947]は，溶鉱炉の鉄の色の問題に取り組みました．そして，溶鉱炉から出てくる光のエネルギー $E$ は振動数 $\nu$ の $h$ 倍であることを発見しました．なお，振動数というのは光が1秒間に含まれる波の数です．\[E=h \nu\]$h$ はプランク定数と呼ばれ，\[h:=6.626 \times 10^{-34} J \cdot s\]という値になります．
一方で，光[光子]の運動量はアインシュタインによって，\[p=\frac{h}{\lambda}\]となることが導かれました．
なお，古典力学ではエネルギー\[E=\frac{1}{2}mV^{2}\]と運動量\[p=mV\]の間には\[E=\frac{p^{2}}{2m}\]という関係があります．
光は粒子としての性質に加えて波動性を持っているということは知られていましたが，この両方を結び付けたのがルイ・ド・ブロイ[Louis Victor de Broglie;1892-1987]．ド・ブロイは質量 $m$ の粒子が速さ $v$ で運動する場合，\[\lambda = \frac{h}{mv}=\frac{h}{p}\]という式で表される波長 $\lambda$ の波とみなせるとしました．これが，ド・ブロイ波と言われます．
プランクとアインシュタインが導いた関係式と古典力学の関係式を用いて，オイラーの公式を加味するとド・ブロイ波の形を求める式を導出できます．その式がシュレディンガー方程式と呼ばれる関係式です．
複素数 $z=x+iy$ の指数関数 $e^{z}$ は，\[e^{z}=e^{x+iy}:=e^{x}(\cos y + i \sin y)\]と定義されます．
set xzeroaxis lt 8
et yzeroaxis lt 0
plot sin(x)
plot cos(x)
Mathematics is the language with which God has written the universe.