理論（Theory）

論理式の集合を $Fml$ とします．

この $Fml$ の部分集合を理論（Theory），あるいは，公理系（axiomatic system）といい，その要素を非論理的公理（nonlogical axiom）といいます．

理論（Theory），あるいは，公理系（axiomatic system）が整合性を保つためには次の3点の成り立つことが必要です．

1. 無矛盾性（consistency,noncontradiction）:
   $\varphi(x) \land \lnot \varphi(x)$ となるような論理式 $\varphi(x)$ が存在しないこと．
2. 独立性（independence）:
   任意の公理 $\varphi(x)$ が，その公理が属する理論（公理系）の他の公理から導かれないこと．
3. 完全性（complete,categorical）:
   任意の論理式 $\varphi(x)$ に関して，それがトートロジー（tautology）であるならば，理論（公理系）のなかで証明可能であるということ．

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トートロジー（tautology）:命題変数の真理値に関わらず常に真となる論理式（恒真式）のこと．

論理式 $\varphi(P_{1},P_{2},\ldots,P_{n})$ がトートロジーであることは，\[\models \varphi(P_{1},P_{2},\ldots,P_{n})\]と表されます．

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参考：真偽値

Mathematics is the language with which God has written the universe.