相加・相乗平均の不等式

$x_{1}>0,x_{2}>0,x_{2}>0,\cdots,x_{n}>0$ に対して,\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i} \geq \sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times x_{3} \times \cdots \times x_{n}} \geq \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}} \]が成り立つ.ここで,等号は,\[x_{1}=x_{2}=x_{3}= \cdots =x_{n}\]であるときにのみ成り立つ.