空間

数学における『空間』というのは『集合』のことを意味している.

ここで数学的構造と言っているものには,

• 位相的構造[topological structure]
• 代数的構造[algebraic structure]
• 順序的構造[order structure]

という3種類が知られている.このうち特に位相的な構造を持った集合は『位相空間』と呼ばれる.

『位相』とはある種の『情報』を意味する.このある種の『情報』を用いて以下の概念の定義が可能となる.

• 集合の内部・外部・境界
• 点の近傍
• 点列の収束
• 連結性
• 写像の連続性
• 開集合・閉集合・閉包

この2点間の距離を考えることのできるユークリッド空間は位相空間の代表例であり,このユークリッド空間をはじめとする幾何学的な『距離空間』を一般化したものが『位相空間』.『位相空間』は『ユークリッド空間』構造の『台[underlying]』となる.また,『ユークリッド空間』の『圏』は『位相空間』の圏上の『具体圏』となる.

代数的な構造としては,

• 群
• 環
• 体

などがある.

Mathematics is the language with which God has written the universe.