組合せの公式

3番目の公式は，異なる $n$ 個の中から $r$ 個選ぶ選び方 $_{n}C_{r}$ 通りのそれぞれは，$n$ 個のものから選ばない$ (n−r) $個のものを選ぶ選び方 $_{n}C_{n−r}$ 通りと1対1に対応するということから導かれます．

4番目の特定のものについての場合分けに関する公式に関しては，異なる $n$ 個のものの中から $r$ 個選ぶ方法が，ある特定の 1 個を含まないで $r$ 個選ぶ選び方の総数が $_{n-1}C_{r}$ 通りであること，ある特定の 1 個を含む $r$ 個選ぶ選び方の総数が $_{n-1}C_{r-1}$ 通りであること，そして，この 2 つの事象が同時に起こることはないので，\[_{n}C_{r}=_{n-1}C_{r}+_{n-1}C_{r-1}\]が成り立ちます．

最後の公式は，リーダーの公式とか大統領と委員の公式と呼ばれます．

つまり，$n$ 人の中から委員 $r$ 人選び，その $r$ 人の委員の中からリーダーを 1 人決める決め方は，$_{n}C_{r} \times r$ 通り考えられます．

また，$n$ 人の中から先にリーダーを決めて，残りから委員 $r-1$ 人を選ぶ方法もありますが，両者は結局同じことなので（本当に同じかという問題はあります），\[r \cdot _{n}C_{r}=n \cdot _{n-1}C_{r-1}\]が成立します．

Mathematics is the language with which God has written the universe.