結合代数と可換代数
群
集合 $A$ と演算 $\circ$ を一緒に考慮した \[(A;\circ)\] が以下の性質を満たすときに群といいます．
- 加法について閉じていること
- 加法について結合法則が成り立つこと．
- 加法について単位元があること．
- 加法について逆元であること．
なお，集合 $A$ と演算 $\circ$ を一緒に考慮した $(A;\circ)$ は代数系と言われます．
また，群の演算のように，群の元だけで閉じている場合，これを群という集合の内部で定義できる演算という意味で，内部算法といいます．
アーベル群[abelian group]
群が加法について可換であうときアーベル群といいます．
環
アーベル群が以下の性質も持つとき環といいます．
- 乗法について閉じていること．
- 乗法について結合法則が成り立つこと．
- 乗法と加法の間で分配法則が成り立つこと．
可換環
環が乗法について可換であるとき可換環といいます．
整域
可換環が以下の性質を満たすとき整域といいます．
- 乗法について単位元があること．
- 乗法について $0$ が唯一の零因子であること．
体
整域が乗法についての逆元を持つとき体といいます．
多項式の係数 $a_{i}$ を含む体を係数体といいます．
結合代数[associative algebra]
係数体 $\mathcal{R}=(\mathbb{C},\mathbb{R})$ 上の線形空間 $V$ の任意の元 $x,y$ について以下の性質を満たす演算 $x*y\in V$ が定義されているものを $\mathcal{R}$ 上の
結合代数[associative algebra]といいます．
- $x*y$ が $V \times V \to V$ という $\mathcal{R}$-双線形写像[bilinear map]となること．
- 結合律が成立すること．
ここで，$\mathcal{R}$-双線形写像[biinear map]というのは，\[x*(y+z)=x*y+x*z\]\[(x+y)*z=x*z+y*z\]\[(\lambda x)*b=x*(\lambda y)=\lambda(x*y)\]が成り立つことを意味します．
可換代数[commutative algebra]
結合代数が，\[x*y=y*x\]を満たすとき，可換代数[commutative algebra]といいます．
満たさない場合は非可換代数[non-commutative algebra]といいます．
Mathematics is the language with which God has written the universe.
