線形空間（linear space）

線形空間の公理

$K$ を体とします．このとき，集合 $V$ に加法 $+$ と，体 $K$ の元によるスカラー倍（scalar multiplication）$\cdot$ が定義されて，以下の条件を満たすならば，集合 $V$ を $K$線形空間といいます．

【和の公理】 $a,b,c \in V$

• 交換法則:$a+b=b+c$
• 結合法則:$(a+b)+c=a+(b+c)$
• 零元の存在:$\exists 0 \in V,0+x=x+0$
• 逆元の存在:$\exists x \in V,a+x=x+a=0,x=-a$

【スカラー倍の公理】 $a \in V$ および$k,l \in K$

• $k(a+b)=ka+kb$
• $(k+l)a=ka+la$
• $(kl)a=k(la)$
• $1a=a$

$K$線形空間は，$K$上の線形空間とか$K$ベクトル空間（vector space）ともよばれます．

基底（basis）

$V$ を $K$線形空間とし，\[x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\]を$K$線形空間 $V$ の元だとします．

$V$ の任意の元 $x$ に対して，\[x=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+ \cdots +a_{n}x_{n}\]を満たすベクトル\[a = \left(\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array} \right) \in K^{n}\]が唯一存在するとき，$x$ を $V$ の基底（basis）といいます．

線形空間の次元

線形空間 $V$ の基底の元の個数 $n$ を，その線形空間 $V$ の次元といい，\[dim V\]と表します．

線形独立と線形従属

線形空間 $V$ の元 $x$ に対して，\[a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+ \cdots +a_{n}x_{n}=0\]という関係式が，\[a_{1}+a_{2}+ \cdots +a_{n}=0\]のときにしか成り立たないとき，\[x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\]を線形独立，あるいは，1次独立といいます．

\[a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\]のうち少なくとも1つが $0$ ではないときは，\[x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\]は線形従属，あるいは，1次従属といいます．

環上の加群

ベクトル空間の概念を一般化したものが環上の加群となります．

Mathematics is the language with which God has written the universe.