群の同型

群 $G,G'$ に関して,$G$ から $G'$ への写像 $f$ が全単射であり,$G$ の任意の2つの元 $x,y$ について,\[ f(xy)=f(x)f(y)\] を満たすとき,$G$ と $G'$ は同型であるという.
$G$ と $G'$ が同型であるとき,\[G \cong G' \]と表す.また,$f$ を群の同型写像という.

$f(xy)$ は群 $G$ の元 $x,y$ の積をとってから $f$ によって群 $G'$ に移すことを意味している.一方,$f(x)f(y)$ というのは群 $G$ の元 $x,y$ を群 $G'$ に移した上で積を取ることを意味している.

群の準同型

群 $G,G'$ に関して,$G$ から $G'$ への写像 $f$ が,$G$ の任意の2つの元 $x,y$ について,\[ f(xy)=f(x)f(y)\] を満たすとき,$G$ と $G'$ は準同型であるという.また,$f$ を群の準同型写像という.

群 $G$ から群 $G'$ への写像\[G \to G' \]が準同型写像となっていて,群 $G'$ から群 $G$ への写像\[G' \to G \]も準同型写像となっている場合,この写像を同型写像と呼ぶ.

Mathematics is the language with which God has written the universe.

合同式 - 群の同型 - 最大公約数 - ヴィエトの公式 - 2次方程式の解の公式