図で点 $P$ に質量 $m$ の物体があるとします．そうすると，$x$ 方向の速度を $u$，$y$ 方向の速度を $v$ ，同じく$x$ 方向の力を $F_{x}$，$y$ 方向の力を $F_{y}$ とすると，速度と加速度の関係から，\[F_{x}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}},F_{y}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\]と表すことができます．
また，\[x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\tag{1}\]となります．また，座標軸の回転の公式から，\[\begin{align}F_{r}&=F_{x}\cos\theta+F_{y}\sin\theta\\F_{\theta}&=-F_{x}\sin\theta+F_{y}\cos\theta\end{align}\]となります．この式に，\[F_{x}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}},F_{y}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\]を代入すると，\[\begin{align}F_{r}&=m[\frac{d^{2}}{dt^{2}}\cdot\cos\theta+\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\cdot\sin\theta]\\F_{\theta}&=m[-\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\cdot\sin\theta+\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\cdot\cos\theta]\end{align}\tag{2}\]ここで，式$(1)$を $t$ で微分（時間微分）すると，\[\begin{align}\frac{dx}{dt}&=\frac{dr}{dt}\cos\theta-r\sin\theta\frac{d\theta}{dt}\\ \frac{dy}{dt}&=\frac{dr}{dt}\sin\theta+r\cos\theta\frac{\theta}{t}\end{align}\tag{3}\]式$(3)$をさらに $t$ で微分（時間微分）すると，\[\begin{align}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}&=\frac{d^{2}r}{dt^{2}}\cos\theta-2\frac{dr}{dt}\sin\theta\frac{d\theta}{dt}\\&-r\cos\theta(\frac{d\theta}{dt})^{2}-r\sin\theta\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\end{align}\tag{4}\]\[\begin{align}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}&=\frac{d^{2}r}{dt^{2}}\sin\theta+2\frac{dr}{dt}\cos\theta\frac{d\theta}{dt}\\&-\sin\theta(\frac{d\theta}{dt})^{2}+r\cos\theta\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\end{align}\tag{5}\]となります．$(4)$式に $\cos\theta$ を掛け，$(5)$式に $\sin\theta$ を掛け，両式を足し合わせ，\[\cos^{2}\theta+\sin^{2}=1\]の関係を利用すると，\[\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\cos\theta+\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{d^{2}r}{dt^{2}}-r(\frac{d\theta}{dt})^{2}\tag{6}\]同じように，$(4)$式に $-\sin\theta$ を掛け，$(5)$式に $\cos\theta$ を掛け，両式を足し合わせると，\[-\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\sin\theta+\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\cos\theta=2(\frac{dr}{dt})(\frac{d\theta}{dt})+r\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\tag{7}\]となります．これら$(6)(7)$式を$(2)$式に代入すると，\[\begin{align}F_{r}&=m[\frac{d^{2}r}{dt^{2}}-r(\frac{d\theta}{dt})^{2}]\\F_{\theta}&=m[r\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+2(\frac{dr}{dt})(\frac{d\theta}{dt})]\end{align}\tag{8}\]ここで，角速度 $d\theta/dt$ を，\[\Omega=\frac{d\theta}{dt}\]とおきます．ここで，\[\begin{align}\frac{d}{dt}[r^{2}\Omega]&=r^{2}\frac{d\Omega}{dt}+2r(\frac{dr}{dt})\Omega\\&=r[r(\frac{d\Omega}{dt})+2(\frac{dr}{dt})\Omega]\end{align}\tag{9}\]また，$(8)$式の第2式を $\Omega$ を使って書き換えると，\[F_{\theta}=m[r(\frac{d\Omega}{dt})+2(\frac{dr}{dt})\Omega]\tag{10}\]$(10)$式に$(9)$式を代入すると，\[rF_{\theta}=m\frac{d}{dt}(r^{2}\Omega)\tag{11}\]が導けます．$r^{2}\Omega$ は角運動量と言われますが，$(11)$式はモーメント（moment of force，回転力） $rF_{\theta}$ が加わると角運動量が増え，モーメントが $0$ であれば角運動量は一定でなければならないことを意味しています．この関係は角運動量の保存法則と呼ばれます．
Mathematics is the language with which God has written the universe.