超距離

定義：超距離

集合 $X$ の任意の2点 $x,y$ に対して実数 $d(x,y)$ が与えられているとする.
このとき,以下の3条件を満たすとき,$d$ は $X$ 上の超距離[ultra­metric,super-metric]という.
  1. $d(x,y) \geq 0$ で,かつ,$d(x,y)=0$ は $x=y$ と同値.
  2. $d(x,y)=d(y,x)$
  3. $d(x,y) \leq max\{d(x,z) , d(y,z)\}$

最後の条件式\[d(x,y) \leq max\{d(x,z) , d(y,z)\}\]は強三角不等式,もしくは,超距離不等式とよばれる.超距離不等式は三角不等式よりも強いものとなっている.

この3条件を満たす,集合 $X$ とその上の距離 $d$ の組である $d(X,d)$ を超距離空間[ultra­metric space]という.超距離[ultra­metric,super-metric]は非アルキメデス距離ともいう.なお,離散距離は超距離であり, $p$-進数全体の成す集合は完備超距離空間となっている.


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