超関数

量子力学におけるブラ・ベクトルとして $\delta$関数が用いられます．$\delta$関数は関数 $f(x)$ の原点における関数値を取り出してくるという機能を持っています．

$\delta$関数[delta function]

任意の連続関数 $f(x)$ に対して，\[\begin{eqnarray}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)f(x)dx &:=& \delta(f(x))=f(0)\\\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx&=&1\\ \delta(x)&=&0,x \neq 0\end{eqnarray}\]を満たす $\delta(x)$ を $\delta$関数といいます．

$\delta$関数は $x=0$ の1点でだけ関数値がゼロとなり，その他の全ての点ではゼロになります．

この $\delta$関数は物理学者のポール・ディラック[Paul Adrien Maurice Dirac;1902/08/08-1984/10/20]に因みディラックデルタ[Dirac's delta]とも言われます．

$\delta$関数は連続関数ではないため，通常の意味の関数ではありません．このような不連続関数の扱いを滑らかな関数に似せるというメリットを持つ形で，関数の概念を一般化したものが超関数[generalized function]です．

超関数[generalized function]

あるよい関数の列\[\{f_{n}(t)\}\]と任意のよい関数 $x(t)$ の内積の極限\[\lim_{n \to \infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{n}(t)x(t)dt\]が存在するとき，\[\{f_{n}(t)\}\]は超関数 $f(t)$ を定めるといいます．

$\delta$関数は超関数になります．また，$\delta$関数はケット・ベクトル $f(x)$ を引数とした汎関数でもあります．

超関数はシュワルツの超関数[distribution]，佐藤超関数[hyperfunction]という理論によって確立されました．

Mathematics is the language with which God has written the universe.

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