このときの運動方程式は，$a$を加速度[$m/s^{2}$]として，\[F[N]=ma[kg \cdot m/s^{2}]\]と表されます．
この運動方程式の両辺について，$x_{0}$から$x_{1}$までの定積分を求めると，\[\int_{t_{0}}^{t_{1}}Fdx=\int_{t_{0}}^{t_{1}}madx\]となります．
ここで，\[a=\frac{dv}{dt}\]であるので，\[\int_{t_{0}}^{t_{1}}Fdx=\int_{t_{0}}^{t_{1}}m\frac{dv}{dt}dx\]また，\[v=\frac{dx}{dt}\]すなわち，\[dx=vdt\]であるので，\[\int_{t_{0}}^{t_{1}}Fdx=\int_{t_{0}}^{t_{1}}m\frac{dv}{dt}vdt\]ここで，\[\frac{d}{dt}(v^{2})=\frac{dv}{dt}\cdot\frac{d}{dv}(v^{2})=\frac{dv}{dt} \cdot 2v\]となるので，\[\frac{dv}{dt} \cdot v=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(v^{2})=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}v^{2})\]となるので，\[\int_{t_{0}}^{t_{1}}Fsx=\int_{t_{0}}^{t_{1}}m\frac{dv}{dt}vdt=\int_{t_{0}}^{t_{1}}m\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}v^{2})dt\]となり，\[\int_{t_{0}}^{t_{1}}Fdx=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^{2})\]を得ます．右辺を積分すると，\[\int_{t_{0}}^{t_{1}}Fdx=[\frac{1}{2}]_{t_{0}}^{t_{1}}\]となります．
ここで，\[\begin{eqnarray}[\frac{1}{2}mv^{2}]_{t_{0}}^{t_{1}}&=&\frac{1}{2}m(v(t)^{2})_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=&\frac{1}{2}mv(t_{1})^{2}-\frac{1}{2}mv(t_{0})^{2}\\&=&\frac{1}{2}mv_{1}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}\end{eqnarray}\]となります．
Mathematics is the language with which God has written the universe.