群 $G$ の部分集合 $H$ が部分群となるための必要十分条件は，\[for\,\,\forall a,b \in H ,ab^{-1} \in H\]であることになります.
$H$ が $G$ の部分群であれば，\[for\,\,\forall a,b \in H,ab^{-1} \in H\]となるのは当然ですが，\[for\,\,\forall a \in H, aa^{-1}=1 \in H\]となり単位元が存在することが分かります．
また，\[for\,\,1,\forall a \in H,1a^{-1}=a^{-1} \in H\]となり，任意の元に逆元が存在します．
さらに，\[for\,\,a,b \in H,b^{-1} \in H, a(b^{-1})^{-1}=ab \in H\]となり群の公理を満たすということが分かります．
つまり，群 $G$ の部分集合 $H$ が部分群となるための必要十分条件は，\[for\,\,\forall a,b \in H ,ab^{-1} \in H\]であることになります.
Mathematics is the language with which God has written the universe.